Sistem Linier dari Persamaan Aljabar

Dalam kehidupan sehari-hari maupun dunia sains dan rekayasa, kita sering berhadapan dengan masalah yang pada dasarnya dapat dimodelkan sebagai sekumpulan persamaan linier. Mulai dari menghitung arus listrik dalam rangkaian, menentukan keseimbangan gaya pada struktur bangunan, hingga mengoptimalkan alokasi sumber daya dalam industri semuanya dapat direpresentasikan dengan sistem linier. Sistem ini terdiri dari sekumpulan persamaan dengan sejumlah variabel tak diketahui yang saling berhubungan, sehingga penyelesaiannya tidak hanya membutuhkan perhitungan aritmetika biasa, tetapi juga pemahaman mendalam tentang aljabar linier. Artikel ini membahas bagaimana sistem persamaan linier dituliskan, direpresentasikan dalam bentuk matriks, serta bagaimana metode komputasi modern seperti MATLAB dapat digunakan untuk menemukan solusinya secara efisien, sekaligus memahami keterbatasannya pada kasus tertentu.

Sistem persamaan linier merupakan salah satu konsep fundamental dalam aljabar dan komputasi numerik. Sederhananya, sistem ini adalah sekumpulan persamaan di mana setiap variabel hanya muncul dengan pangkat satu, tanpa kuadrat atau bentuk non-linier lainnya. Misalnya, dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukannya saat menghitung pertemuan dua garis pada bidang koordinat, atau dalam skala yang lebih kompleks, ketika memodelkan arus listrik pada rangkaian, distribusi gaya dalam struktur teknik, hingga analisis data dalam ilmu komputer.

Karena perannya yang luas, memahami sistem linier menjadi penting, terutama ketika jumlah persamaan dan variabel yang terlibat semakin besar. Menuliskan sistem tersebut hanya dalam bentuk persamaan aljabar terkadang membingungkan dan tidak praktis. Oleh karena itu, para matematikawan dan ilmuwan biasanya mengekspresikannya dalam bentuk matriks, yang lebih ringkas dan mudah diolah baik secara manual maupun menggunakan perangkat lunak seperti MATLAB.

Dengan pemahaman awal ini, kita dapat mulai melihat bagaimana sebuah sistem dengan N persamaan linier dan N variabel tak diketahui dapat dituliskan dalam bentuk umum berikut.

[latex]x_1, x_2, …, x_N[/latex], yang secara umum dapat dituliskan dalam bentuk

$$
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots + a_{1N}x_{N} = b_{1}
$$

$$
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2N}x_{N} = b_{2} \quad (1.1)
$$

$$
\vdots
$$

$$
a_{N1}x_{1} + a_{N2}x_{2} + \cdots + a_{NN}x_{N} = b_{N}
$$

[latex]a_{ij}[/latex] adalah koefisien konstanta (diasumsikan bernilai real) yang mengalikan variabel tak diketahui [latex]x_{j}[/latex] pada persamaan ke-[latex]i[/latex].
[latex]b_{i}[/latex] adalah konstanta di sisi kanan persamaan ke-[latex]i[/latex], juga diasumsikan bernilai real.

Sebagai contoh khusus, perhatikan sistem berikut:

$$
x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4
$$

$$
2x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 7 \quad (1.2)
$$

$$
3x_{1} + x_{2} + 6x_{3} = 2
$$

untuk sistem di atas, nilai koefisiennya adalah:

$$
a_{11} = 1, \; a_{12} = 1, \; a_{13} = 1, \; b_{1} = 4
$$

$$
a_{21} = 2, \; a_{22} = 1, \; a_{23} = 3, \; b_{2} = 7 \quad (1.3)
$$

$$
a_{31} = 3, \; a_{32} = 1, \; a_{33} = 6, \; b_{3} = 2
$$

Biasanya, sistem linier dituliskan dalam bentuk matriks/vektor sebagai:

$$
Ax = b \quad (1.4)
$$

dengan

Baris ke-[latex]i[/latex] dari matriks [latex]A[/latex] berisi nilai [latex]a_{i1}, a_{i2}, …, a_{iN}[/latex] yang merupakan koefisien pengali dari tiap variabel [latex]x_{1}, x_{2}, …, x_{N}[/latex] dalam persamaan ke-[latex]i[/latex].
Sedangkan kolom ke-[latex]j[/latex] berisi [latex]a_{1j}, a_{2j}, …, a_{Nj}[/latex] yang mengalikan variabel [latex]x_{j}[/latex] pada setiap persamaan [latex]i = 1, 2, …, N[/latex].

Sehingga terdapat asosiasi sebagai berikut:

• Baris ⇔ persamaan
• Kolom ⇔ variabel tertentu

Kita sering menuliskan bentuk [latex]Ax = b[/latex] secara eksplisit sebagai:

Untuk contoh sistem (1.2), bentuk matriksnya:

Bila masih bingung bisa disimak analogi penjelasan berikut :
Coba bayangkan kita sedang berbelanja di pasar. Ada tiga jenis barang: apel (x1x_1x1​), jeruk (x2x_2x2​), dan mangga (x3x_3x3​). Nah, setiap penjual memberi kita “aturan belanja” yang harus dipenuhi. Misalnya:

• Penjual pertama bilang: “Kalau kamu ambil 1 apel, 1 jeruk, dan 1 mangga, totalnya harus 4 kilo.”
• Penjual kedua bilang: “Kalau kamu ambil 2 apel, 1 jeruk, dan 3 mangga, totalnya harus 7 kilo.”
• Penjual ketiga bilang: “Kalau kamu ambil 3 apel, 1 jeruk, dan 6 mangga, totalnya harus 2 kilo.”

Nah bingung kan? Kita harus mencari kombinasi jumlah apel, jeruk, dan mangga yang serentak memenuhi semua aturan itu. Kalau hanya 1 aturan sih gampang, tapi kalau tiga sekaligus? Di sinilah sistem persamaan linier masuk.

Sekarang, supaya aturan-aturan tadi nggak ditulis panjang-panjang terus, kita rapikan dalam bentuk tabel angka.

• Baris dalam tabel = aturan dari penjual.
• Kolom dalam tabel = jenis barang (apel, jeruk, mangga).
• Angka di dalamnya = berapa kali tiap buah dihitung dalam aturan.

Kalau ditulis jadi tabel (atau istilah kerennya matriks), bentuknya jadi kayak gini:

Di sini:

[latex]A[/latex] = tabel aturan dari para penjual,
[latex]x[/latex] = jumlah apel, jeruk, dan mangga yang kita cari,
[latex]b[/latex] = target total kilo dari masing-masing penjual.

Nah, semua aturan tadi bisa kita tuliskan pendek banget:

$$
Ax = b
$$

Artinya: “Kalau kita ambil buah sesuai [latex]x[/latex], lalu kita hitung sesuai resep bobot di tabel [latex]A[/latex], hasilnya harus sama dengan target [latex]b[/latex].”

Analogi gampangnya gini:

• Anggap [latex]A[/latex] = resep kue,
• [latex]x[/latex] = jumlah bahan (tepung, gula, telur),
• [latex]b[/latex] = hasil kue yang harus jadi (misalnya beratnya).

Kalau kita tahu resep dan hasil akhir yang diminta, tugas kita adalah mencari berapa banyak bahan yang harus dipakai.

Itulah inti dari sistem persamaan linier: mencari kombinasi [latex]x[/latex] yang bikin semua aturan terpenuhi sekaligus.

Di MATLAB, sistem [latex]Ax = b[/latex] dapat diselesaikan dengan perintah tunggal:

x = A\b

Untuk contoh (1.2), kode berikut:

A = [1 1 1; 2 1 3; 3 1 6];
b = [4; 7; 2];
x = A\b

akan menghasilkan solusi:

x =
   19.0000
   -7.0000
   -8.0000

Sekilas, ini kelihatan praktis banget. Tinggal ketik perintahnya, MATLAB langsung kasih jawaban. Jadi mungkin muncul pikiran: “Kalau udah ada solver otomatis, kenapa kita masih harus ribet belajar cara kerja sistem linier?”

Nah, justru di sinilah pentingnya. Solver memang memudahkan, tapi dia gk se manjur itu buat beberapa kasus lain. Ada situasi tertentu misalnya sistem yang sangat besar atau punya sifat khusus di mana solver standar bisa gagal atau kasih hasil yang menyesatkan. Kalau kita nggak paham dasar aljabar liniernya, kita bisa kesulitan tahu apa yang salah dan gimana cara mengatasinya.

Selain itu, banyak masalah nyata di ilmu teknik dan sains jauh lebih rumit dari sekadar sistem linier biasa. Misalnya sistem non-linier, persamaan diferensial, atau persamaan diferensial parsial. Semua itu dibangun di atas pondasi aljabar linier. Jadi, kalau pondasinya lemah, kita bakal kesulitan melangkah lebih jauh.

Kalau kamu mau mendalami lebih dalam lagi, ada buku klasik yang sering dijadikan rujukan, misalnya Strang (2003) atau Golub & van Loan (1996).

Referensi

Buku Numerical Methods for Chemical Engineering Applications in MATLAB ® Karya : KENNETH J. BEERS Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York
isbn-13 978-0-511-25650-9 eBook (EBL) isbn-10 0-511-25650-7 eBook (EBL) isbn-13 978-0-521-85971-4