Aliran Fluida dalam Media Berpori dan Inflow Performance Relationship (IPR) pada Reservoir

Aliran fluida dalam reservoar dapat terjadi bila terdapat perbedaan tekanan (gradien tekanan) sepanjang lintasan alir dalam reservoar.

Penjabaran Hukum Darcy dalam bentuk matematis merupakan dasar dari persamaan aliran fluida dalam media berpori. Persamaan ini kemudian dikembangkan untuk berbagai kondisi aliran fluida di dalam reservoar.

2.1. Aliran Fluida dalam Media Berpori

Pada tahun 1856, Henry Darcy merumuskan suatu hukum berdasarkan hasil eksperimen aliran air melalui lapisan pasir yang tidak terkonsolidasi. Dengan beberapa asumsi, hukum ini kemudian diperluas untuk menjelaskan gerakan fluida lain, termasuk dua atau lebih fluida yang tidak dapat bercampur (immiscible) di dalam batuan kompak (consolidated rock) maupun media berpori lainnya.

Hukum Darcy menyatakan bahwa:

Secara matematis, hukum Darcy dapat dituliskan sebagai:

$$
v = \frac{q}{A} = - \frac{k}{\mu} \frac{dP}{ds}
$$

dengan keterangan:

• [latex] v [/latex] = [latex]\text{bbl/day/ft}^{2}[/latex]
• [latex] q [/latex] = bbl/day
• [latex] A [/latex] = [latex]\text{ft}^{2}[/latex]
• [latex] k [/latex] = Darcy
• [latex] \mu [/latex] = centipoise (cp)
• [latex] \frac{dP}{dx} [/latex] = psi/ft

Aliran Linier pada Media Berpori

Jika fluida bersifat incompressible, maka kecepatan fluida sama pada semua titik, selama laju aliran total melalui setiap penampang adalah sama. Dengan demikian:

$$
v = \frac{q}{A} = - \frac{1.127 \, k}{\mu} \frac{dP}{dx} \qquad (2-2)
$$

dengan keterangan (dalam satuan lapangan):

• [latex] v [/latex] = [latex]\text{bbl/day/ft}^{2}[/latex]
• [latex] q [/latex] = bbl/day
• [latex] A [/latex] =[latex]\text{ft}^{2}[/latex]
• [latex] k [/latex] = Darcy
• [latex] \mu [/latex] = centipoise (cp)
• [latex] \frac{dP}{dx} [/latex] = psi/ft

Integrasi Persamaan Darcy

Dengan memisahkan variabel dan melakukan integrasi sepanjang panjang media berpori L, diperoleh:

$$
\int_{P_1}^{P_2} dP = - \frac{1.127 \, \mu}{kA} \int_{0}^{L} q \, dx
$$

Sehingga:

$$
q = \frac{1.127 \, kA}{\mu L} \, (P_1 - P_2) \qquad (2-3)
$$

Keterangan:

• [latex]P_1[/latex] = tekanan hulu (inlet pressure)
• [latex]P_2[/latex] = tekanan hilir (outlet pressure)
• [latex]L[/latex] = panjang media berpori (ft)

Pada persamaan ini, variabel q, μ, dan k dianggap konstan terhadap tekanan.

2.2. PRODUCTIVITY INDEX

Productivity Index (PI) suatu sumur adalah angka penunjuk (index) yang digunakan untuk menyatakan kemampuan produksi suatu sumur pada kondisi tertentu.

Secara definisi, PI adalah “perbandingan antara laju produksi yang dihasilkan suatu sumur terhadap perbedaan tekanan (drawdown) antara tekanan statik (Ps) dengan tekanan pada saat terjadi aliran (Pwf) di dasar sumur”, atau:

$$
PI = \frac{q}{P_s - P_{wf}} \quad \text{bbl/day/psi} \qquad (2-4)
$$

Dengan menggunakan persamaan aliran dari Darcy, harga PI dapat pula ditentukan berdasarkan sifat fisik batuan dan fluida reservoar, serta geometri sumur dan reservoarnya. Khusus untuk aliran radial maka:

$$
PI = \frac{0.007082 \, kh}{\mu_o B_o \ln{\left(\frac{r_e}{r_w}\right)}} \qquad (2-5)
$$

Kedua persamaan di atas tidak selalu dapat digunakan, karena dalam praktek sering dijumpai adanya gas dalam aliran sehingga fluida menjadi compressible. Hal ini terjadi bila tekanan reservoar di bawah tekanan bubble-point. Pada kondisi ini PI tidak dapat ditentukan dengan Persamaan (2-4) maupun (2-5), karena harga PI akan berubah untuk setiap nilai Pwf.

Selain itu, persamaan di atas juga tidak berlaku bila dalam aliran fluida terdapat air formasi. Kondisi ini masih dianggap berfasa satu, sehingga ke dalam Persamaan (2-4) dimasukkan laju produksi air, sebagai berikut:

$$
PI = \frac{q_o + q_w}{P_s - P_{wf}} \qquad (2-6)
$$

Sesuai dengan persamaan Darcy, maka Persamaan (2-6) dapat pula ditulis sebagai:

$$
PI = \frac{0.007082h}{\ln{\left(\frac{r_e}{r_w}\right)}}
\left( \frac{k_o}{\mu_o B_o} + \frac{k_w}{\mu_w B_w} \right) \qquad (2-7)
$$

Bentuk lain yang sering digunakan untuk mengukur produktivitas sumur adalah Specific Productivity Index (SPI), yang didefinisikan sebagai perbandingan PI terhadap ketebalan formasi:

$$
SPI = \frac{PI}{h} \qquad (2-8)
$$

Nilai SPI digunakan untuk membandingkan produktivitas sumur-sumur yang berbeda dalam suatu lapangan.

Lewis dan Horner (1942) mengemukakan bahwa harga PI juga dapat ditentukan dengan persamaan berikut:

$$
PI = \frac{5.9 \, k h}{\mu_o B_o} \times 10^{-3} \qquad (2-9)
$$

dengan keterangan:

• [latex] PI [/latex] = Productivity Index, bbl/day/psi
• [latex] k [/latex] = permeabilitas, mD (1D = 1000 mD)
• [latex] h [/latex] = ketebalan formasi, ft
• [latex] \mu_o [/latex] = viskositas minyak, cp
• [latex] B_o [/latex] = faktor volume formasi minyak, bbl/STB

2.3. INFLOW PERFORMANCE RELATIONSHIP (IPR)

Inflow Performance suatu sumur adalah gambaran tentang kemampuan sumur tersebut untuk memproduksikan fluida. Kemampuan ini tergantung pada beberapa faktor berikut:

• Sifat fisik batuan
• Geometri sumur dan daerah pengurasan
• Sifat fisik fluida yang mengalir
• Perbedaan tekanan antara formasi produktif dengan lubang sumur pada saat terjadi aliran

Harga PI yang diperoleh dari tes atau dari peramalan merupakan gambaran kualitatif mengenai kemampuan suatu sumur untuk berproduksi. Dalam kaitan dengan perencanaan produksi, harga PI dapat dinyatakan secara grafis dalam bentuk grafik IPR (Inflow Performance Relationship).

Sesuai dengan definisi PI, maka untuk membuat grafik IPR perlu diketahui:

• Laju produksi (q)
• Tekanan aliran dasar sumur (Pwf)
• Tekanan statik sumur (Ps)

Ketiga data tersebut diperoleh dari tes produksi dan tes tekanan yang dilakukan pada sumur bersangkutan. Berdasarkan data tersebut, grafik IPR dapat dibuat sesuai dengan kondisi aliran fluida satu-fasa atau dua-fasa.

2.3.1. IPR Satu-Fasa

Apabila ketiga data di atas diketahui, maka pembuatan grafik IPR untuk aliran fluida satu-fasa dapat dilakukan dengan prosedur berikut:

1. Tentukan Productivity Index dengan Persamaan (2-4).
2. Tentukan laju produksi maksimum (potential), dengan: [latex] q_{max} = P_s \times PI [/latex]
3. Buat sumbu koordinat dengan tekanan pada sumbu tegak dan laju produksi pada sumbu datar.
4. Plot harga Ps pada sumbu tegak (q = 0).
5. Plot harga qmax pada sumbu datar (Pwf = 0).
6. Hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus → garis ini merupakan grafik IPR.

Contoh:
Diketahui:

• Ps = 2000 psi
• Pwf = 1500 psi
• q = 65 bbl/hari

Maka:

$$
PI = \frac{65}{2000 - 1500} = 0.13 \; \text{bbl/hari/psi}
$$

$$
q_{max} = 0.13 \times 2000 = 260 \; \text{bbl/hari}
$$

Buat grafik seperti pada Gambar 2.2 → plot Ps = 2000 psi pada sumbu tekanan dan qmax = 260 bbl/hari pada sumbu laju produksi.

Hubungkan kedua titik dengan garis lurus → inilah grafik IPR satu-fasa.

2.3.2. IPR Dua-Fasa

Menurut Muskat, apabila yang mengalir adalah fluida dua-fasa (minyak dan gas), maka grafik IPR akan berupa garis lengkung dan nilainya tidak konstan. Kemiringan garis IPR berubah secara kontinyu untuk setiap harga [latex] P_{wf} [/latex]. Dengan demikian, Persamaan (2-4) tidak berlaku lagi. Definisi yang tepat untuk PI dalam kondisi dua-fasa adalah:

$$
PI = - \frac{d q}{d P_{wf}} \qquad (2-10)
$$

Pembuatan grafik IPR untuk aliran dua-fasa mula-mula dikembangkan oleh Weller (1966), yang menurunkan persamaan PI untuk reservoar solution gas drive sebagai berikut:

$$
PI = \frac{2 \pi k h}{141.294 \, \mu_o \, B_o \, (r_e^2 - r_w^2)}
\int_{P_{wf}}^{P_e} \frac{P \, dP}{\ln{\left(\frac{r_e}{r_w}\right)} - \frac{(r_w^2)}{(r_e^2 - r_w^2)}}
\qquad (2-11)
$$

Dalam menurunkan Persamaan (2-11) tersebut, digunakan beberapa anggapan:

1. Bentuk reservoar adalah lingkaran terbatas (bounded reservoir) dan sumur berada tepat di tengah lingkaran.
2. Media berpori seragam dan isotropis, dengan nilai [latex] S_w [/latex] konstan di setiap titik.
3. Pengaruh gradien tekanan diabaikan.
4. Kompresibilitas air dan batuan diabaikan.
5. Komposisi minyak dan gas dianggap konstan.
6. Tekanan pada fasa minyak dan gas sama.
7. Kondisi semi steady-state, yaitu laju desaturasi minyak sama di setiap titik pada saat tertentu.

Metode Weller cukup rumit dan tidak praktis. Oleh karena itu, Vogel (1968) mengemukakan pendekatan yang lebih sederhana. Vogel menggunakan persamaan Weller sebagai dasar, lalu mengembangkan kurva dasar IPR tak berdimensi (dimensionless IPR curve).

Bentuk kurva dasar IPR tak berdimensi dapat dilihat pada Gambar 2.3. Untuk tujuan praktis, Vogel menyatakan kurva tersebut dalam bentuk persamaan:

$$
\frac{q}{q_{max}} = 1 - 0.2 \left( \frac{P_{wf}}{P_s} \right) - 0.8 \left( \frac{P_{wf}}{P_s} \right)^2 \qquad (2-12)
$$

atau:

$$
\frac{q}{q_{max}} = 1 - 0.2 \left( \frac{P_{wf}}{P_s} \right) - 0.8 \left( \frac{P_{wf}}{P_s} \right)^{1.6} \qquad (2-13)
$$

Sesuai dengan persamaan Weller yang digunakan untuk reservoar solution gas drive, maka penggunaan kurva dasar IPR tak berdimensi juga hanya berlaku untuk reservoar solution gas drive dan fluida dua-fasa (minyak dan gas). Namun, pada reservoar partial water drive (sumur terisolasi dari perembesan air), kurva dasar masih dapat digunakan.

Kasus [latex] P_s < P_b [/latex]

Pada kondisi ini, prosedur pembuatan IPR adalah sebagai berikut:

1. Dengan menggunakan Persamaan (2-12), tentukan [latex] q_{max} [/latex] berdasarkan data tes produksi dan tekanan.
2. Buat hubungan tabulasi antara [latex] P_{wf} [/latex] dan [latex] q [/latex] dengan Persamaan (2-12) atau menggunakan kurva dasar IPR (Gambar 2.3). Nilai [latex] P_{wf} [/latex] dianggap antara 0 hingga [latex] P_s [/latex].
3. Buat sumbu koordinat dengan tekanan pada sumbu tegak dan laju produksi pada sumbu datar.
4. Plot hasil tabulasi pada grafik.
5. Hubungkan titik-titik tersebut, sehingga diperoleh kurva IPR.

Contoh:
Diketahui: [latex] P_s = 2000 , \text{psi} [/latex], [latex] P_{wf} = 1500 , \text{psi} [/latex], [latex] P_b = 2100 , \text{psi} [/latex], [latex] q_o = 65 , \text{bbl/day} [/latex].

(1) Dengan Persamaan (2-12):

$$
\frac{65}{q_{max}} = 1 - 0.2 \left(\frac{1500}{2000}\right) - 0.8 \left(\frac{1500}{2000}\right)^2
$$

$$
\frac{65}{q_{max}} = 0.40
$$

$$
q_{max} = \frac{65}{0.40} = 162.5 \; \text{bbl/hari}
$$

(2) Buat tabulasi sebagai berikut:

(3) Buat sumbu koordinat seperti pada Gambar 2.4, lalu plot hasil tabulasi.
(4) Hubungkan titik-titik tersebut → kurva hasilnya adalah grafik IPR.

Kasus Ps > Pb

Apabila tekanan statik reservoir (Ps) lebih besar dibanding tekanan bubble point (Pb), maka kurva IPR (Inflow Performance Relationship) akan terbagi menjadi dua bagian (lihat Gambar 2.5), yaitu:

1. Bagian lurus (linier): berlaku untuk kondisi Ps > Pwf > Pb
2. Bagian melengkung (non-linier): berlaku untuk kondisi Pwf < Pb

Dengan kata lain, aliran fluida masih mengikuti hukum Darcy secara linier saat tekanan dasar sumur (Pwf) lebih besar dari tekanan bubble point, namun akan berubah non-linier (melengkung) setelah Pwf turun di bawah Pb karena terbentuk aliran dua-fasa (minyak dan gas).

Perluasan Persamaan Vogel

Untuk kondisi ini, digunakan perluasan dari Persamaan (2-12) sehingga diperoleh hubungan:

a) Jika Pwf < Pb, maka berlaku:

$$
\frac{q}{q_b} = 1 - 0.2 \left(\frac{P_{wf}}{P_b}\right) - 0.8 \left(\frac{P_{wf}}{P_b}\right)^2
$$

dengan:

• [latex]q[/latex] = laju produksi pada Pwf tertentu
• [latex]q_b[/latex] = laju produksi pada saat [latex]P_{wf} = P_b[/latex]

b) Untuk menghitung qmaxq_{max}qmax​, digunakan hubungan:

$$
q_{max} = \frac{q_b - q_o}{1 - \frac{P_{wf}}{P_s}}
$$

dengan:

• [latex]q_o[/latex] = laju produksi dari data uji
• [latex]P_{wf}[/latex] = tekanan alir dasar sumur dari data uji
• [latex]P_s[/latex] = tekanan statik reservoir dari data uji
• [latex]q_b[/latex] = laju produksi pada [latex]P_b[/latex]
• [latex]P_b[/latex] = tekanan bubble point

Prosedur Pembuatan Kurva IPR

1. Jika Ps > Pb dan Pwf tes > Pb

Langkah-langkahnya:

• Buat sistem koordinat pada kertas grafik: tekanan (vertikal) vs laju produksi (horizontal).
• Plot titik [latex]Ps[/latex] pada [latex]q = 0[/latex] dan plot titik uji [latex](q_{test}, P_{wf,test})[/latex].
• Karena [latex]P_{wf,test} > Pb[/latex], titik uji berada di bagian linier. Tarik garis lurus dari [latex]P_s[/latex] ke titik uji → ini adalah bagian linier IPR.
• Dari titik [latex]P_b[/latex], tarik garis horizontal ke kanan.
• Perpanjang garis dari langkah (3) hingga memotong garis horizontal dari [latex]P_b[/latex]. Titik perpotongan menunjukkan [latex]q_b[/latex].
  • [latex]q_b[/latex] juga bisa dihitung dengan persamaan:

$$
q_b = PI \cdot (P_s - P_b)
$$

dengan:

$$
PI = \frac{q_{test}}{P_s - P_{wf,test}}
$$

• Hitung [latex]q_{max}[/latex] dengan Persamaan (2-15) lalu plot di grafik.
• Gunakan Persamaan (2-14) untuk menghitung nilai [latex]q[/latex pada [latex]Pwf < Pb[/latex] secara tabulasi, kemudian plot.
• Hubungkan semua titik, dimulai dari [latex](q_b, P_b)[/latex].

2. Jika Ps > Pb dan Pwf tes < Pb

Proses ini lebih rumit karena bagian linier (Pwf > Pb) tidak bisa dibuat. Maka perlu terlebih dahulu menentukan qbq_bqb​.

• Tentukan qbq_bqb​ dengan menggabungkan Persamaan (2-15) ke Persamaan (2-14), menghasilkan:

$$
\frac{q}{q_b} = 1 - 0.2\left(\frac{P_{wf}}{P_b}\right) - 0.8\left(\frac{P_{wf}}{P_b}\right)^2 - \frac{1}{1.8}\left(\frac{P_s - P_{wf}}{P_b}\right)
$$

• Buat sistem koordinat tekanan (vertikal) vs laju produksi (horizontal).
• Tentukan [latex]q_b[/latex] dengan Persamaan (2-16).
• Tentukan [latex]q_{max}[/latex] dengan Persamaan (2-15).
• Hitung nilai [latex]q$ untuk $Pwf < Pb[/latex] menggunakan Persamaan (2-14) secara tabulasi.
• Plot titik-titik hasil perhitungan, termasuk Ps dan Pb.
• Hubungkan semua titik → hasilnya adalah kurva IPR lengkap.

Referensi

Buku IV Pengantar Teknik Produksi oleh : Bapak Ir. Joko Pamungkas, MT. Tahun : 2004

1. Craft, B.C. & Hawkins, M.F. (1959). Applied Petroleum Reservoir Engineering. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc.
2. Brown, K.E. et al. (1977, 1980, 1980, 1984). The Technology of Artificial Lift Methods. Vol. 1, 2a, 2b, 4. Tulsa, OK: PennWell Publishing Company.
3. Lawira, D. (1973). Teknik Produksi. Cepu: Akamigas.
4. Winkler, H.W. & Smith, S.S. (1962). Camco Gas Lift Manual. Houston, TX: Camco Incorporated.
5. Craft, B.C., Holden, W.R. & Graves, E.D. (1959). Well Design, Drilling and Production. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall Inc.
6. Anonim. (tt). Reda Pumps for The Petroleum Industry. Bartlesville, OK: TRW Reda Pump.
7. Muravyov, I. et al. (tt). Development and Exploitation of Oil and Gas Fields. Moscow: Peace Publishers.
8. Frick, T.C. & Taylor, R.W. (1962). Petroleum Production Handbook. Vol. I, 2nd Printing. Dallas, TX: Society of Petroleum Engineers of AIME.
9. Arnold, K. & Stewart, M. (1989). Surface Production Operations: Design of Gas-Handling Systems and Facilities. Vol. 2. Houston, TX: Gulf Publishing Company.
10. Ikoku, C.U. (1980). Natural Gas Engineering – A Systems Approach. Tulsa, OK: PennWell Publishing Company.
11. Katz, D.L. et al. (1959). Handbook of Natural Gas Engineering. New York–Toronto–London: McGraw-Hill Company.
12. Campbell, J.M. (1978). Gas Conditioning and Processing. Vol. II, 2nd Printing. Norman, OK: Campbell Petroleum Series.
13. Husodo, W. (1986). Pengetahuan Peralatan Produksi (Untuk Jurusan Bukan Produksi). Diktat Kedua. Cepu: PPT Migas.